Résolution compléte du problème de Collatz

Avec l'aide de Baptiste Airaudi

  Ces axiomes définissent les règles du monde mathématique par lequel nous allons résoudre ce problème : Il existe un nombre fini de nombres dans ce monde mathématique, noté α, avec 1 < α ≤ 10^9. α appartient à N+, donc α est un entier strictement positif. 

Tout produit a deux solutions égales aux composants du produit, mais ces solutions ne sont pas égales entre elles. Par exemple, 4 x 5 = 4 et 4 x 5 = 5, mais 4 ≠ 5.

Tout nombre qui se transforme en 1 dans le cadre des mathématiques classiques et du problème de Collatz, et qui appartient à α, est noté Λ dans ce monde mathématique.

On suppose que tous les nombres appartenant à α (les entiers de 1 < α ≤ 10^9) peuvent être notés Λ.

Nous allons maintenant commencer la démonstration : Selon la règle du deuxième axiome, tout produit a deux solutions distinctes qui sont les composants du produit. Dans ce cadre, si nous prenons le produit Λ + Λ, nous obtenons : Λ + Λ = 2Λ Toutefois, conformément au deuxième axiome, les deux solutions d'un produit sont les composants du produit lui-même. Par conséquent, 2Λ doit être égal à Λ en vertu de ce principe. Cela se justifie par le fait que le produit a toujours pour solutions les éléments qui le composent, ici 2 et Λ, donc 2Λ = Λ. Cette propriété de 2Λ = Λ reste vraie quel que soit le nombre de Λ que l'on additionne, car la structure du produit reste inchangée dans ce cadre.

On affirme ensuite que tous les nombres dans les mathématiques standards peuvent être exprimés comme la somme de deux Λ ou de plusieurs Λ. Cette propriété permet de relier les nombres classiques au concept de Λ dans notre monde mathématique, créant ainsi une passerelle entre les deux systèmes.

En revenant aux mathématiques classiques, on montre que tous les nombres strictement supérieurs à 1 peuvent être exprimés sous la forme Λ ou 2Λ, où 2Λ est également Λ. Cela signifie que tous les nombres se comportent comme Λ dans le cadre des transformations de Collatz.

  Afin de valider la démonstration il faut que l'hypothèse soit vraie : À l'aide d'un algorithme développé sur Google Colab, on vérifie que tous les nombres de 2 jusqu'à 10^9 finissent par se transformer en 1 selon les règles de Collatz. Cette validation permet de valider l'hypothèse selon laquelle tous les nombres peuvent être transformés en 1. Voici le code (il est un peu sophistiqué mais il devait servir à tester les nombre jusqu'a 10^100) : import pickle from google.colab import drive import concurrent.futures drive.mount( '/content/drive' ) def collatz ( n , cache ={}): if n in cache: return cache[n] original_n = n while n != 1 : if n % 2 == 0 : n = n // 2 else : n = n * 3 + 1 cache[original_n] = n return n def load_cache ( filename = '/content/drive/My Drive/collatz_cache4.pkl' ): try : with open (filename, "rb" ) as f: retu...

Puisque tous les nombres appartenant à N+ (les entiers strictement positifs) finissent par se transformer en 1 dans le cadre du problème de Collatz, la démonstration montre que la conjecture de Collatz est résolue, à la fois dans ce monde mathématique et dans le cadre des mathématiques classiques.